Modulo adalah sebuah operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya. Misalkan dua bilangan a dan b, a modulo b (disingkat a mod b) adalah bilangan bulat sisa pembagian a oleh b. Misalnya, "1 mod 3", "4 mod 3", dan "7 mod 3" memiliki hasil 1, karena ketiga bilangan tersebut memiliki sisa 1 jika dibagi oleh 3, sedangkan "9 mod 3" sama dengan 0. Penerapan operasi modulus dalam teori bilangan tergolong aritmatika modulo.

Teori Dasar Aritmetika Modulo

  • Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m
  • Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 <= r < m
  • Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, m – 1}
Seperti contoh soal tentang Modulo berikut 1099 DIBAGI 7 SISANYA BERAPA ?

Penyelesaian :

Sembarang bilangan bulat positif dibagi 7 sisanya yang mungkin adalah ; 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 .

Jika kita bagi secara konvensional bilangan yang begitu besar tersebut dengan 7 , tentu merepotkan dan cukup menyita waktu serta energi.

Pada dasarnya mencari sisa pembagian bilangan bulat dibagi bilangan bulat sbb:

Sederhanakan bilangan yang dibagi, dengan jalan memfaktorkan bilangan tersebut, tujuannya agar mendapatkan suatu bilangan yang bersisa sama (kongruen) jika dibagi 7.

Faktorkan bilangan yang dibagi , dalam bentuk faktor-faktornya yang memuat bilangan pangkat dari 10 yang bersisa 1 jika dibagi 7.

Kita periksa bilangan pangkat dari 10 jika dibagi 7 bersisa 1. Mulai dari bilangan terkecil yaitu 10

101 dibagi 7 sisanya 3

102 dibagi 7 sisanya 2

103 dibagi 7 sisanya 6

104 dibagi 7 sisanya 4

105 dibagi 7 sisanya 5

106 dibagi 7 sisanya 1

Tips : Untuk menentukan sisa pembagian bilangan diatas dibagi 7 , tak perlu melakukan pembagian secara utuh, misalnya 102 = 100 , lalu 100 : 7 = 14 sisa 2. Anda cukup melihat hasil sisa pembagian sebelumnya , sisa pembagian 102 = 10 x 10 dibagi 7 sama dengan sisa (3 x 3) dibagi 7, 9 : 7 sisa 2.

Begitu juga seterusnya 103 = 101 x 102, sisa 103 dibagi 7 adalah 3 x 2 = 6. (karena demikian sifat sisa pembagian bilangan )

Dengan memuat bilangan terakhir yaitu 106 , kita faktorkan 1099.

Dengan algoritma pembagian diperoleh bahwa; 99 = 6 x 16 + 3

Sehingga dapat ditulis :


Dengan demikian sisa 1099 dibagi 7 sama dengan sisa 103 dibagi 7 yaitu 6.

(karena 106 dipangkatkan bilangan bulat positif berapapun dibagi 7 tetap besisa 1)

Jadi, 1099 dibagi 7 bersisa 6 .

TINGKAT LANJUTAN :

Kesamaan sisa pembagian tersebut dalam matematika dikemas dengan istilah Kongruensi Modulo.

Mahasiswa tk. I biasanya telah mendapat materi ini dalam mata kuliah Aljabar atau Teori Bilangan .

Apapun istilah dan penyajiannya, dalam mencari solusi sisa pembagian pada prinsifnya sama , ini yang disebut Persamaan Linear Kongruensi Modulo, dan soal tersebut dalam kongruensi modulo ditulis sebagai berikut;

Tentukan penyelesaian dari

1099 ≡ x (mod 7)

Jawab :

Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 dibagi 7, yaitu 106

106 ≡ 1 (mod 7)

Kedua ruas persamaaan kongruensi modulo tersebut dipangkatkan 16 diperoleh

(106)16 ≡ 116 (mod 7)

1096 ≡ 1 (mod 7)

Kedua ruas dikali 103 , diperoleh ;

1096 x 103 ≡ 1 x 103 (mod 7)

1099 ≡ 103 (mod 7)

1099 ≡ 10 x 10 x 10 (mod 7)

1099 ≡ 3 x 3 x 3 (mod 7)

1099 ≡ 27 (mod 7)

1099 ≡ 6 (mod 7)

Dengan kata lain, 1099 dibagi 7 bersisa 6.

Simpulan :

Dalam beberapa kasus soal sisa pembagian, lebih sederhana penyelesaiaannya dengan langkah pengerjaan seperti di atas , sehingga soal sisa pembagian bilangan bulat berpangkat, dapat diberikan kepada siswa SMP atau SMA

Soal Latihan

  • Berapa Sisa Pembagian dari 3355 dibagi 8 ?

Referensi : Deni 11 Math & JokoMardono