Modulo adalah sebuah operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya. Misalkan dua bilangan a dan b, a modulo b (disingkat a mod b) adalah bilangan bulat sisa pembagian a oleh b. Misalnya, "1 mod 3", "4 mod 3", dan "7 mod 3" memiliki hasil 1, karena ketiga bilangan tersebut memiliki sisa 1 jika dibagi oleh 3, sedangkan "9 mod 3" sama dengan 0. Penerapan operasi modulus dalam teori bilangan tergolong aritmatika modulo.
Teori Dasar Aritmetika Modulo
- Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m
- Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 <= r < m
- Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, m – 1}
Seperti contoh soal tentang Modulo berikut
1099 DIBAGI 7 SISANYA BERAPA ?
Penyelesaian :
Sembarang bilangan bulat positif dibagi 7 sisanya yang mungkin adalah ; 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 .
Jika kita bagi secara konvensional bilangan yang begitu besar tersebut dengan 7 , tentu merepotkan dan cukup menyita waktu serta energi.
Pada dasarnya mencari sisa pembagian bilangan bulat dibagi bilangan bulat sbb:
Sederhanakan bilangan yang dibagi, dengan jalan memfaktorkan bilangan tersebut, tujuannya agar mendapatkan suatu bilangan yang bersisa sama (kongruen) jika dibagi 7.
Faktorkan bilangan yang dibagi , dalam bentuk faktor-faktornya yang memuat bilangan pangkat dari 10 yang bersisa 1 jika dibagi 7.
Kita periksa bilangan pangkat dari 10 jika dibagi 7 bersisa 1. Mulai dari bilangan terkecil yaitu 10
10
1 dibagi 7 sisanya 3
10
2 dibagi 7 sisanya 2
10
3 dibagi 7 sisanya 6
10
4 dibagi 7 sisanya 4
10
5 dibagi 7 sisanya 5
106 dibagi 7 sisanya 1
Tips : Untuk menentukan sisa pembagian bilangan diatas dibagi 7 , tak perlu melakukan pembagian secara utuh, misalnya 10
2 = 100 , lalu 100 : 7 = 14 sisa 2. Anda cukup melihat hasil sisa pembagian sebelumnya , sisa pembagian 10
2 = 10 x 10 dibagi 7 sama dengan sisa (3 x 3) dibagi 7, 9 : 7 sisa 2.
Begitu juga seterusnya 10
3 = 10
1 x 10
2, sisa 10
3 dibagi 7 adalah 3 x 2 = 6. (karena demikian sifat sisa pembagian bilangan )
Dengan memuat bilangan terakhir yaitu 10
6 , kita faktorkan 10
99.
Dengan algoritma pembagian diperoleh bahwa; 99 = 6 x 16 + 3
Sehingga dapat ditulis :
Dengan demikian sisa 10
99 dibagi 7 sama dengan sisa 10
3 dibagi 7 yaitu 6.
(karena 10
6 dipangkatkan bilangan bulat positif berapapun dibagi 7 tetap besisa 1)
Jadi, 10
99 dibagi 7 bersisa 6 .
TINGKAT LANJUTAN :
Kesamaan sisa pembagian tersebut dalam matematika dikemas dengan istilah Kongruensi Modulo.
Mahasiswa tk. I biasanya telah mendapat materi ini dalam mata kuliah Aljabar atau Teori Bilangan .
Apapun istilah dan penyajiannya, dalam mencari solusi sisa pembagian pada prinsifnya sama , ini yang disebut Persamaan Linear Kongruensi Modulo, dan soal tersebut dalam kongruensi modulo ditulis sebagai berikut;
Tentukan penyelesaian dari
10
99 ≡ x (mod 7)
Jawab :
Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 dibagi 7, yaitu 10
6
10
6 ≡ 1 (mod 7)
Kedua ruas persamaaan kongruensi modulo tersebut dipangkatkan 16 diperoleh
(10
6)16 ≡ 116 (mod 7)
10
96 ≡ 1 (mod 7)
Kedua ruas dikali 10
3 , diperoleh ;
10
96 x 10
3 ≡ 1 x 10
3 (mod 7)
10
99 ≡ 10
3 (mod 7)
10
99 ≡ 10 x 10 x 10 (mod 7)
10
99 ≡ 3 x 3 x 3 (mod 7)
10
99 ≡ 27 (mod 7)
10
99 ≡ 6 (mod 7)
Dengan kata lain, 10
99 dibagi 7 bersisa 6.
Simpulan :
Dalam beberapa kasus soal sisa pembagian, lebih sederhana penyelesaiaannya dengan langkah pengerjaan seperti di atas , sehingga soal sisa pembagian bilangan bulat berpangkat, dapat diberikan kepada siswa SMP atau SMA
Soal Latihan
- Berapa Sisa Pembagian dari 3355 dibagi 8 ?
Referensi :
Deni 11 Math &
JokoMardono
